Elena Becker MA

Exkurs: Die Quadratur des Kreises(2) – ein Lösungsweg

>> Exkurs: Die Quadratur des Kreises(2) – ein Lösungsweg¹>> Die Quadratur des Kreises gilt bzw. galt bis heute als unbeweisbares Axiom. Noch während meines Studiums hörte ich an der Universität dazu eine "philosophische" Vorlesung eines ehemaligen Mathematiklehrers. Darin "bewies" er die Unbeweisbarkeit anhand verschiedener Lösungsversuche, die von ambitionierten (angehenden) Mathematikern offenbar vergeblich, vorgelegt wurden.Das Axiom besagt nach „klassischer“, aus der Euklidischen Geometrie überlieferten Definition die Unmöglichkeit, einen Kreis ohne Rekurs auf die „transzendente“ Zahl „pi“ π (= ca. 3,14) zu „konstruieren“ und insbesondere ohne die Hilfskonstruktion eines Quadrats mittels „Zirkel und Lineal“. Diese Definition blieb trotz der Fortschritte der Mathematik, v.a. den Entwicklungen der „Trigonometrie“ und der von G. W. Leibniz „erfundenen“ Differentialrechnung“ unverändert. Gerade mit diesen „neueren“ Methoden, ganz abgesehen von den modernen digitalen Darstellungsmöglichkeiten, und nicht zuletzt, indem man die -unendliche- Bewegung einführt, ist diese als „unlösbar“ geltende Aufgabe m.E. durchaus lösbar. Deshalb schlage ich folgenden -von mir entwickelten- Lösungsweg vor, der sowohl geometrische Formelemente bzw. Ausgangsfiguren Kreis, Quadrat und rechtwinkliges Dreieck als auch Differentialmethode und statistische Methode „kombiniert“. Die anschauliche Idee ist die Vorstellung eines auf der Kreislinie befindlichen, im Drehwinkel phi φ rotierenden Punktes. Der im Abstand von 2 r=(Radius) bzw. r (wenn phi=0) „gegenüberliegende“ Drehwinkelpunkt wird mit dem Differential des „Sinus“ von phi < gleich 1 zum „Uhrzeiger“ - Drehwinkel verschoben, in dem der Punkt rotieren soll. Insbesondere die Kreisfigur, die einen Thaleskreis enthält, kann als zweidimensionale oder Querschnittsmodell des Bloch- Ball definiert werden.

1. - Behauptung: Die Quadratur des Kreises ist die Beschreibung der Rotation eines Quadrats mit unendlicher Geschwindigkeit.Es sei U= der Umfang des Kreises Kr= der Radius des Kreises (1)=die Seite des Quadrats, dessen 4 Ecken auf der Kreislinie liegen; phi= Drehwinkel des Quadrats (beliebige Richtung): größer Null, kleiner gleich eins außerdem: a(1)=r

2. Es folgt:U= 360 mal das Differential des Sinus des Drehwinkels phi wenn phi größer Null und kleiner/ gleich eins mal den doppelten Radius r=a

3. Beweis:Der Quotient von pi=3,14 geteilt durch 360 muß (circa) den Sinus von phi (phi =0,01) ergeben (näherungsweise)

Der Quotient beträgt: (circa) 0,009 = sin (0,01) q.e.d

Bei diesem Lösungsweg über die „transzendente“ Sinusfunktion und ein Differential des kleinstmöglichen Drehwinkels kann die Zahl „pi“ präzisiert werden. Über den Umfang des Kreises ist die Fläche des Kreises zu ermitteln, daraus F (K)= a(2) des „flächengleichen“ Quadrats.

VOLLSTÄNDIGER BEWEIS:

Δ SIN φ; φ= > 0;<= 1 bzw. LIMES gegen 0 (=Grenzwert am Punkt φ)

Wertbereich für: x= 1 ( φ Maximum) ; x0=0,01 (φ Minimum)

es folgt:

das (partielle) Differential Δ SIN φ = sin bezogen auf x

lautet:

x 0 (sin x - sin x0 ) : x (heißt: Differentialquotient lim → 0 ; Quotientenregel)

wenn: sin 1= 0,841470 ; sin x0 =0,009999833; x=1

es folgt:

1. Δ SIN φ= 0,01 (0,841470 -0,0099998) = 0,01 * 0,8314711

=0,008

es folgt; wenn π: 360 = 0,008 = Δ SIN φ (q.e.d)

Der Beweis kann jetzt im Einklang mit der „klassischen“ d.h. Rein theoretischen Differentialmethode von G. W. Leibniz für vollständig betrachtet werden, wenn der Differentiant sin phi= 0,01 selbst als partielles Differential für den „unteren“ Grenzwertbereich phi= 0,01 >= 0 definiert wird. Dieses Teilverfahren ist nach der Differentialmethode erlaubt, würde aber bedeuten, daß π (Differential)geringfügig kleiner ist als die überlieferte Zahl.

Eine weitere -kombinierbare- Methode ist, die „Position“ des Punktes statistisch zu ermitteln. Auch hierfür ergeben sich ggf. zwei oder weitere Möglichkeiten, die

(1)eine Wahrscheinlichkeit P als Verteilungsfunktion ( nach Gauß) allgemein so beschreibt:

P(x Є [a,b]) , die ein Integral ergibt, das Integral (zwischen a und b) der Diffrerentialfunktion f (x) dx

2. die einfache Summe ( der „Kleine Gauß“) der „wahrscheinlichen“ (unvereinbar geltenden) Positionen des Rotationspunktes an der Stelle x: y, also: ab phi <= 0,01:

0,01 * sin 0,01 + … + n * sin n ; n >/= 0

2. als vektorielle Verschiebung (um „Ortsvektor“ r) oder mithilfe eines (sog.) „Identitätsoperators“ (Summand) s. Bloch Ball.

<i>Ausgangsfigur: Thaleskreis, sonst wie oben</i>

2. Aus dem Vorangegangenen kann durch „Umkehrung“ gefolgert werden bzw. es folgt:

(wenn)(1) U (Kreis) = 2 mal r (=1) mal Differential (von )Sinus (von) phi (größer null kleiner gleich 1) mal 360 K (folgt)(1) = 2 mal r (=1) mal pi

es folgt das (genaue) Ergebnis für pi= Differential (von) Sinus (von) phi (größer null kleiner gleich 1) mal 360

bzw. die Summe aller vollständigen Differentiale* sämtlicher Werte von φ im festgelegten Bereich (φ =0;360 RAD)

* ein sog. vollständiges Differential ist der summarische Ausdruck für den Grenzwert am Punkt p

nämlich df= (δf : δx)dx + (δf : δy)dy

Skizze:

Quadrat innerhalb des Kreises K

rechtwinkliges Dreieck (Sinusdifferential)

rotierendes Quadrat/Rotationspunkt P

©Elena Becker MA (Aug) 2013